Пусть \({6^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\({t^2}-\left( {8a-1} \right)t + 16{a^2}-4a-2 = 0.\)
\(D = {\left( {8a-1} \right)^2}-4\left( {16{a^2}-4a-2} \right) = 64{a^2}-16a + 1-64{a^2} + 16a + 8 = 9;\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = \dfrac{{8a-1 + 3}}{2},}\\{{t_2} = \dfrac{{8a-1-3}}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 4a + 1,}\\{{t_2} = 4a-2.}\end{array}} \right.\)
Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} > 0,\,}\\{{t_2} \le 0.\,}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 1 > 0,}\\{4a-2 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -0,25,}\\{a \le 0,5\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-0,25;\,0,5} \right].\)
Ответ: \(\left( {-0,25;\,0,5} \right].\)