Пусть \({5^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\({t^2}-\left( {8a + 5} \right)t + 16{a^2} + 20a-14 = 0.\)
\(D = {\left( {8a + 5} \right)^2}-4\left( {16{a^2} + 20a-14} \right) = 64{a^2} + 80a + 25-64{a^2}-80a + 56 = 81;\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = \dfrac{{8a + 5 + 9}}{2},}\\{{t_2} = \dfrac{{8a + 5-9}}{2}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} = 4a + 7,}\\{{t_2} = 4a-2.}\end{array}} \right.\)
Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} > 0,\,}\\{{t_2} \le 0.\,}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a + 7 > 0,}\\{4a-2 \le 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,75,}\\{a \le 0,5\;\;\,\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-1,75;\,0,5} \right].\)
Ответ: \(\left( {-1,75;\,0,5} \right].\)