23В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения \({16^x}-\left( {{4^{a + 3}} + {{16}^{a + 1}}} \right) \cdot {4^x} + {4^{3a + 5}} = 0\) больше другого в три раза.
ОТВЕТ: \(-7;\,\,\,\,\,-0,6.\)
Пусть \({4^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-\left( {{4^{a + 3}} + {{16}^{a + 1}}} \right)t + {4^{3a + 5}} = 0;\) \(D = {\left( {{4^{a + 3}}} \right)^2} + 2 \cdot {4^{3a + 5}} + {\left( {{4^{2a + 2}}} \right)^2}-4 \cdot {4^{3a + 5}} = {\left( {{4^{a + 3}}} \right)^2}-2 \cdot {4^{3a + 5}} + {\left( {{4^{2a + 2}}} \right)^2} = {\left( {{4^{a + 3}}-{4^{2a + 2}}} \right)^2};\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{{4^{a + 3}} + {4^{2a + 2}} + {4^{a + 3}}-{4^{2a + 2}}}}{2},}\\{t = \frac{{{4^{a + 3}} + {4^{2a + 2}}-{4^{a + 3}} + {4^{2a + 2}}}}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = {4^{a + 3}},\,}\\{t = {4^{2a + 2}}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{4^x} = {4^{a + 3}},\,}\\{{4^x} = {4^{2a + 2}}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a + 3,\;\;}\\{x = 2a + 2.}\end{array}} \right.\) Корни будут отличаться в три раза, если: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{a + 3}}{{2a + 2}} = 3,}\\{\frac{{2a + 2}}{{a + 3}} = 3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{6a + 6 = a + 3,\;}\\{3a + 9 = 2a + 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -\frac{3}{5},}\\{a = -7.\;}\end{array}} \right.\) Ответ: \(-7;\,\,\,\,\,-0,6.\) ЗАМЕЧАНИЕ: Квадратное уравнение вида \({x^2}-\left( {b + c} \right)x + bc = 0\) по теореме Виета имеет корни: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = b,}\\{x = c.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({t^2}-\left( {{4^{a + 3}} + {{16}^{a + 1}}} \right)t + {4^{3a + 5}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-\left( {{4^{a + 3}} + {4^{2a + 2}}} \right)t + {4^{a + 3}} \cdot {4^{2a + 2}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = {4^{a + 3}},\,}\\{t = {4^{2a + 2}}.}\end{array}} \right.\)