Уравнение будет иметь корни, если его дискриминант неотрицательный:
\(D = {a^2}-4a-28 \ge 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;2-4\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {2 + 4\sqrt 2 ;\infty } \right).\)
Найдём произведение и сумму корней уравнения по теореме Виета:
\({x_1} + {x_2} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{{-a}}{1} = a;\,\,\,\,\,\,\,{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{a + 7}}{1} = a + 7.\)
Тогда:
\(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2-2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}-2{x_1}{x_2} = {a^2}-2\left( {a + 7} \right) = 10\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{a^2}-2a-24 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = -4,}\\{a = 6.\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Значение \(a = 6\) не удовлетворяет условию \(a\, \in \,\left( {-\infty ;2-4\sqrt 2 } \right] \cup \left[ {2 + 4\sqrt 2 ;\infty } \right).\) Следовательно, сумма квадратов корней уравнения будет равна 10 при \(a = -4.\)
ОТВЕТ: -4.