Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 24В

ОТВЕТ:  \(0,75;\,\,\,\,\;3.\)

Пусть  \({5^x} = t,\;\;\;\;t > 0.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^2}-\left( {{{125}^{a-1}} + {5^{2a-3}}} \right)t + {5^{5a-6}} = 0;\)

\(D = {\left( {{5^{3a-3}}} \right)^2} + 2 \cdot {5^{3a-3}} \cdot {5^{2a-3}} + {\left( {{5^{2a-3}}} \right)^2}-4 \cdot {5^{3a-3}} \cdot {5^{2a-3}} = \)

\( = {\left( {{5^{3a-3}}} \right)^2}-2 \cdot {5^{3a-3}} \cdot {5^{2a-3}} + {\left( {{5^{2a-3}}} \right)^2} = {\left( {{5^{3a-3}}-{5^{2a-3}}} \right)^2};\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{{5^{3a-3}} + {5^{2a-3}} + {5^{3a-3}}-{5^{2a-3}}}}{2},}\\{t = \frac{{{5^{3a-3}} + {5^{2a-3}}-{5^{3a-3}} + {5^{2a-3}}}}{2}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = {5^{3a-3}},}\\{t = {5^{2a-3}}.\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^x} = {5^{3a-3}},}\\{{5^x} = {5^{2a-3}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3a-3,}\\{x = 2a-3.}\end{array}} \right.\)

Корни будут отличаться в два раза, если:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3a-3}}{{2a-3}} = 2,}\\{\frac{{2a-3}}{{3a-3}} = 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a-3 = 4a-6,}\\{2a-3 = 6a-6\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3,\;\;\;\;\;}\\{a = 0,75.}\end{array}} \right.\)

Ответ:  \(0,75;\,\,\,\,\;3.\)

ЗАМЕЧАНИЕ:

Квадратное уравнение вида  \({x^2}-\left( {b + c} \right)x + bc = 0\)  по теореме Виета имеет корни:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = b,}\\{x = c.}\end{array}} \right.\)  Тогда:

\({t^2}-\left( {{{125}^{a-1}} + {5^{2a-3}}} \right)t + {5^{5a-6}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-\left( {{5^{3a-3}} + {5^{2a-3}}} \right)t + {5^{3a-3}} \cdot {5^{2a-3}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = {5^{3a-3}},}\\{t = {5^{2a-3}}.}\end{array}} \right.\)