25В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(\log _{14}^2x-\left( {18a + 5} \right){\log _{14}}x + 81{a^2} + 45a + 6 = 0\)  имеет два различных корня, среднее арифметическое которых равно 105.

Ответ

ОТВЕТ:  \(-\frac{1}{9}.\)

Решение

Пусть  \({\log _{14}}x = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\({t^2}-\left( {18a + 5} \right)t + 81{a^2} + 45a + 6 = 0;\)

\(D = {\left( {18a + 5} \right)^2}-4\left( {81{a^2} + 45a + 6} \right) = 324{a^2} + 180a + 25-324{a^2}-180a-24 = 1;\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{18a + 5 + 1}}{2},}\\{t = \frac{{18a + 5-1}}{2}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 9a + 3,}\\{t = 9a + 2.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{14}}x = 9a + 3,}\\{{{\log }_{14}}x = 9a + 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{14}^{9a + 3}},}\\{x = {{14}^{9a + 2}}.}\end{array}} \right.\)

Среднее арифметическое корней равно 105, если:

\(\frac{{{{14}^{9a + 3}} + {{14}^{9a + 2}}}}{2} = 105\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;14 \cdot {14^{9a + 2}} + {14^{9a + 2}} = 210\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;15 \cdot {14^{9a + 2}} = 210\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{14^{9a + 2}} = {14^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;9a + 2 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{1}{9}.\)

Ответ:  \(-\frac{1}{9}.\)