25А. При каком целом значении параметра а уравнения  \(2{x^2} + \left( {3a-1} \right)x-3 = 0\)  и  \(6{x^2}-\left( {2a-3} \right)x-1 = 0\)  имеют общий корень?

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Так как данные уравнения должны иметь общий корень, запишем их в систему, домножив первое уравнение на 3:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6{x^2} + \left( {9a-3} \right)x-9 = 0,}\\{6{x^2}-\left( {2a-3} \right)x-1 = 0.}\end{array}} \right.\)

Вычтем из первого уравнения полученной системы второе:

\(\left( {11a-6} \right)x-8 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \frac{8}{{11a-6}}\)   при  \(a \ne \frac{6}{{11}}.\)

Подставим найденное значение в первое уравнение:

\(2 \cdot {\left( {\frac{8}{{11a-6}}} \right)^2} + \frac{{8\left( {3a-1} \right)}}{{11a-6}}-3 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,128 + \left( {24a-8} \right)\left( {11a-6} \right)-3{\left( {11a-6} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,128 + 264{a^2}-144a-88a + 48-363{a^2} + 396a-108 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,99{a^2}-164a-68 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a = -\frac{{34}}{{99}} \notin Z.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, при  \(a = 2\)  заданные уравнения будут иметь общий корень.

ОТВЕТ: 2.