Пусть \({\log _{16}}x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\({t^2}-\left( {16a + 19} \right)t + 64{a^2} + 152a + 90 = 0;\)
\(D = {\left( {16a + 19} \right)^2}-4\left( {64{a^2} + 152a + 90} \right) = 256{a^2} + 608a + 361-256{a^2}-608a-360 = 1;\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{16a + 19 + 1}}{2},}\\{t = \frac{{16a + 19-1}}{2}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 8a + 10,}\\{t = 8a + 9.\;\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{16}}x = 8a + 10,}\\{{{\log }_{16}}x = 8a + 9\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {{16}^{8a + 10}},}\\{x = {{16}^{8a + 9}}.\;\,}\end{array}} \right.\)
Среднее арифметическое корней равно 8,5, если:
\(\frac{{{{16}^{8a + 10}} + {{16}^{8a + 9}}}}{2} = 8,5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;16 \cdot {16^{8a + 9}} + {16^{8a + 9}} = 17\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;17 \cdot {16^{8a + 9}} = 17\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{16^{8a + 9}} = {16^0}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;8a + 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{9}{8}.\)
Ответ: \(-\frac{9}{8}.\)