Так как данные уравнения должны иметь общий корень, запишем их в систему, домножив первое уравнение на 3, а второе на \(4a.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12a{x^2}-15x + 3a = 0,\,\,\,\,\,}\\{12a{x^2} + 8{a^2}x-20a = 0.}\end{array}} \right.\)
Вычтем из второго уравнения полученной системы первое:
\(\left( {8{a^2} + 15} \right)x-23a = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{{23a}}{{8{a^2} + 15}}.\)
Подставим найденное значение во второе уравнение:
\(\dfrac{{1587{a^2}}}{{{{\left( {8{a^2} + 15} \right)}^2}}} + \dfrac{{46{a^2}}}{{8{a^2} + 15}}-5 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,1587{a^2} + 46{a^2}\left( {8{a^2} + 15} \right)-5{\left( {8{a^2} + 15} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
Пусть \({a^2} = t,\,\) где \(t \ge 0.\) Тогда последнее уравнение примет вид:
\(1587t + 368{t^2} + 690t-320{t^2}-1200t-1125 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,48{t^2} + 1077t-1125 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,t = -\dfrac{{1125}}{{48}} < 0,}\\{t = 1.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)
Возвращаясь к прежней переменной, получим: \({a^2} = 1\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1,\,\,\,\,}\\{a = -1.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, при \(a = \pm 1\) заданные уравнения будут иметь общий корень.
ОТВЕТ: -1; 1.