29В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^2}-4xy + 6{y^2} + 2y + 2y\sin \left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\sin ^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + 1 = 0\) имеет хотя бы одно решение.
ОТВЕТ: \(0,5 + 2k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)
\({x^2}-4xy + 6{y^2} + 2y + 2y\sin \left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\sin ^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-4xy + 4{y^2} + {y^2} + 2y + 1 + {y^2} + 2y\sin \left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\sin ^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-2y} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y + {\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right)} \right)^2} = 0.\) Последнее уравнение будет иметь решение, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{y + 1 = 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{y + {\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2y,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{-y = {\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\;\,}\\{{\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}}\\{{\rm{\pi }}\,a = \frac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a = 0,5 + 2k,\;\;\;\;k \in Z.}\end{array}} \right.\) Таким образом, при \(a \in 0,5 + 2k,\,\,\,\,\,k \in Z\) уравнение будет иметь хотя бы одно решение. Ответ: \(0,5 + 2k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)