\({x^2}-4xy + 6{y^2} + 2y + 2y\sin \left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\sin ^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-4xy + 4{y^2} + {y^2} + 2y + 1 + {y^2} + 2y\sin \left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\sin ^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-2y} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {y + {\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right)} \right)^2} = 0.\)
Последнее уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2y = 0,\;\;\;\;\;\;\,}\\{y + 1 = 0,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{y + {\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2y,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{-y = {\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\;\,}\\{{\rm{sin}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\end{array}}\\{{\rm{\pi }}\,a = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{y = -1,\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a = 0,5 + 2k,\;\;\;\;k \in Z.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, при \(a \in 0,5 + 2k,\,\,\,\,\,k \in Z\) уравнение будет иметь хотя бы одно решение.
Ответ: \(0,5 + 2k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)