3В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 16} \right)x + 16a} \right)\sqrt {x + 5} = 0\) имеет ровно два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-5} \right] \cup \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {-3,2;\,0} \right] \cup \left\{ 4 \right\}.\)
Запишем ОДЗ: \(x + 5 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -5.\) \(\left( {a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 16} \right)x + 16a} \right)\sqrt {x + 5} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 16} \right)x + 16a = 0,}\\{\sqrt {x + 5} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 16} \right)x + 16a = 0,}\\{x = -5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Корень \(x = -5\) удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, исходное уравнение будет иметь два различных корня, если уравнение \(a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 16} \right)x + 16a = 0\) имеет один корень больше \(-5.\) Если \(a = 0,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot \,{x^2}-\left( {{0^2} + 16} \right)x + 16 \cdot 0 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-16x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0 > -5,\) значит \(a = 0\) подходит. Если \(a \ne 0,\) то уравнение будет являться квадратным, дискриминант которого: \(D = {\left( {{a^2} + 16} \right)^2}-64{a^2} = \left( {{a^2} + 16-8a} \right)\left( {{a^2} + 16 + 8a} \right) = {\left( {a-4} \right)^2}{\left( {a + 4} \right)^2} = {\left( {{a^2}-16} \right)^2}.\) Рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю: \(D = {\left( {{a^2}-16} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-16 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4,\;\;}\\{a = -4.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 4,\) то: \(4{x^2}-32x + 64 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-4} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 4.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, значит \(a = 4\) подходит. Если \(a = -4,\) то: \(-4{x^2}-32x-64 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 4} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -4.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, значит \(a = -4\) подходит. Если \(D > 0,\) то: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{{a^2} + 16 + {a^2}-16}}{{2a}},}\\{x = \frac{{{a^2} + 16-{a^2} + 16}}{{2a}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a,\;\,\,}\\{x = \frac{{16}}{a}.}\end{array}} \right.\) Исходное уравнение будет иметь два различных корня, если один из корней полученной совокупности больше \(-5,\) а другой меньше или равен \(-5.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -5,\;}\\{\frac{{16}}{a} \le -5}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -5,\;}\\{\frac{{16}}{a} > -5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -5,\;\;\;\,\;\;\,}\\{\frac{{16 + 5a}}{a} \le 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -5,\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{16 + 5a}}{a} > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -5,\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{a \in \left[ {-3,2;0} \right)}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\\{a \in \left( {-\infty ;-3,2} \right) \cup \left( {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-3,2;0} \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-5} \right]\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left( {-\infty ;-5} \right] \cup \left[ {-3,2;0} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-5} \right] \cup \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {-3,2;\,0} \right] \cup \left\{ 4 \right\}\) исходное уравнение имеет два различных корня. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-5} \right] \cup \left\{ {-4} \right\} \cup \left[ {-3,2;\,0} \right] \cup \left\{ 4 \right\}.\)