\(11{x^2} + 6xy + {y^2}-2x-2\,x\,{\rm{tg}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;9{x^2} + 6xy + {y^2} + {x^2}-2x + 1 + {x^2}-2\,x\,{\rm{tg}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {3x + y} \right)^2} + {\left( {x-1} \right)^2} + {\left( {x-\,{\rm{tg}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right)} \right)^2} = 0.\)
Последнее уравнение будет иметь решение, если:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y = 0,\;\;\;\;\;\,}\\{x-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-\,{\rm{tg}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = -3x,\;\;\;\,}\\{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = {\rm{tg}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = -3,\;\;\;\;\,}\\{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{\rm{tg}}\left( {{\rm{\pi }}\,a} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{y = -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{{\rm{\pi }}\,a = \dfrac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{y = -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\\{a = 0,25 + k,\;\;\;\;k \in Z.}\end{array}} \right.\)
Таким образом, при \(a \in 0,25 + k,\,\,\,\,\,k \in Z\) уравнение будет иметь хотя бы одно решение.
Ответ: \(0,25 + k,\,\,\,\,\,k \in Z.\)