Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 31В

ОТВЕТ:  \(-\dfrac{1}{2}.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = z,\;}\\{x + y + z = a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = a-x-y,}\\{z = a-x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + {y^2} + y = a,}\\{z = a-x-y\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + \dfrac{1}{4} + {y^2} + y + \dfrac{1}{4} = a + \dfrac{1}{2},}\\{z = a-x-y\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {y + \dfrac{1}{2}} \right)}^2} = a + \dfrac{1}{2},}\\{z = a-x-y.\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.} \right.\)

Графиком первого уравнения полученной системы является окружность, если  \(a > -\dfrac{1}{2},\)  и точка, если  \(a = -\dfrac{1}{2}.\)

Таким образом, система уравнений будет иметь единственное решение, если  \(a = -\dfrac{1}{2}.\)

Ответ:  \(-\dfrac{1}{2}.\)