Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 31Вmath100admin44242024-01-21T21:01:17+03:00
31В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = z,}\\{x + y + z = a}\end{array}} \right.\) имеет единственное решение.
Решение
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = z,\;}\\{x + y + z = a}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} = a-x-y,}\\{z = a-x-y\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + {y^2} + y = a,}\\{z = a-x-y\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + \frac{1}{4} + {y^2} + y + \frac{1}{4} = a + \frac{1}{2},}\\{z = a-x-y\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {y + \frac{1}{2}} \right)}^2} = a + \frac{1}{2},}\\{z = a-x-y.\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.} \right.\)
Графиком первого уравнения полученной системы является окружность, если \(a > -\frac{1}{2},\) и точка, если \(a = -\frac{1}{2}.\)
Таким образом, система уравнений будет иметь единственное решение, если \(a = -\frac{1}{2}.\)
Ответ: \(-\frac{1}{2}.\)