32В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4{y^2} = x + y + z,}\\{x + 2y + 3z = a}\end{array}} \right.\) имеет единственное решение.
ОТВЕТ: \(-\frac{{17}}{{48}}.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4{y^2} = x + y + z,}\\{x + 2y + 3z = a\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 12{y^2} = 3x + 3y + 3z,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \(\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 12{y^2}-3x-3y-a + x + 2y = 0,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2}-2x + 12{y^2}-y = a,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {{x^2}-\frac{2}{3}x + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} \right) + 12\left( {{y^2}-\frac{2}{{24}}y + {{\left( {\frac{1}{{24}}} \right)}^2}-{{\left( {\frac{1}{{24}}} \right)}^2}} \right) = a,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{{\left( {x-\frac{1}{3}} \right)}^2}-\frac{1}{3} + 12{{\left( {y-\frac{1}{{24}}} \right)}^2}-\frac{1}{{48}} = a,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{{\left( {x-\frac{1}{3}} \right)}^2} + 12{{\left( {y-\frac{1}{{24}}} \right)}^2} = a + \frac{{17}}{{48}},}\\{3z = a-x-2y.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.} \right.\) Графиком первого уравнения полученной системы является окружность, если \(a > -\frac{{17}}{{48}},\) и точка, если \(a = -\frac{{17}}{{48}}.\) Таким образом, система уравнений будет иметь единственное решение, если \(a = -\frac{{17}}{{48}}.\) Ответ: \(-\frac{{17}}{{48}}.\)