\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 4{y^2} = x + y + z,}\\{x + 2y + 3z = a\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 12{y^2} = 3x + 3y + 3z,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)
\(\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} + 12{y^2}-3x-3y-a + x + 2y = 0,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2}-2x + 12{y^2}-y = a,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {{x^2}-\dfrac{2}{3}x + {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}-{{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}} \right) + 12\left( {{y^2}-\dfrac{2}{{24}}y + {{\left( {\dfrac{1}{{24}}} \right)}^2}-{{\left( {\dfrac{1}{{24}}} \right)}^2}} \right) = a,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{{\left( {x-\dfrac{1}{3}} \right)}^2}-\dfrac{1}{3} + 12{{\left( {y-\dfrac{1}{{24}}} \right)}^2}-\dfrac{1}{{48}} = a,}\\{3z = a-x-2y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{{\left( {x-\frac{1}{3}} \right)}^2} + 12{{\left( {y-\dfrac{1}{{24}}} \right)}^2} = a + \dfrac{{17}}{{48}},}\\{3z = a-x-2y.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.} \right.\)
Графиком первого уравнения полученной системы является окружность, если \(a > -\dfrac{{17}}{{48}},\) и точка, если \(a = -\dfrac{{17}}{{48}}.\)
Таким образом, система уравнений будет иметь единственное решение, если \(a = -\dfrac{{17}}{{48}}.\)
Ответ: \(-\dfrac{{17}}{{48}}.\)