\({x^2}-3x + a-3 = 0;\;\;\;\,\;D = 9-4a + 12 = 21-4a;\,\,\,\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \dfrac{{21}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2},}\\{x = \dfrac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2}.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\)
Первый случай:
\(5 \cdot \dfrac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2} + 3 \cdot \dfrac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{15 + 5\sqrt {21-4a} }}{2} + \dfrac{{9-3\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;24 + 2\sqrt {21-4a} = 46\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {21-4a} = 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;21-4a = 121\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -25.\)
Второй случай:
\(5 \cdot \dfrac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2} + 3 \cdot \dfrac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{15-5\sqrt {21-4a} }}{2} + \dfrac{{9 + 3\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;24-2\sqrt {21-4a} = 46\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {21-4a} = -11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)
Таким образом, при \(a = -25\) корни уравнения удовлетворяют равенству \(5{x_1} + 3{x_2} = 23.\)
Ответ: \(-25.\)