33В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни уравнения  \({x^2}-3x + a-3 = 0\)  удовлетворяют равенству \(5{x_1} + 3{x_2} = 23\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(-25.\)

Решение

\({x^2}-3x + a-3 = 0;\;\;\;\,\;D = 9-4a + 12 = 21-4a;\,\,\,\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{{21}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2},}\\{x = \frac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2}.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\)

Первый случай:

\(5 \cdot \frac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2} + 3 \cdot \frac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{15 + 5\sqrt {21-4a} }}{2} + \frac{{9-3\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;24 + 2\sqrt {21-4a}  = 46\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {21-4a}  = 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;21-4a = 121\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -25.\)

Второй случай:

\(5 \cdot \frac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2} + 3 \cdot \frac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{15-5\sqrt {21-4a} }}{2} + \frac{{9 + 3\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;24-2\sqrt {21-4a}  = 46\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {21-4a}  = -11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Таким образом, при  \(a = -25\)  корни уравнения удовлетворяют равенству  \(5{x_1} + 3{x_2} = 23.\)

Ответ:  \(-25.\)