33В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни уравнения \({x^2}-3x + a-3 = 0\) удовлетворяют равенству \(5{x_1} + 3{x_2} = 23\).
ОТВЕТ: \(-25.\)
\({x^2}-3x + a-3 = 0;\;\;\;\,\;D = 9-4a + 12 = 21-4a;\,\,\,\,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{{21}}{4},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2},}\\{x = \frac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2}.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\) Первый случай: \(5 \cdot \frac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2} + 3 \cdot \frac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{15 + 5\sqrt {21-4a} }}{2} + \frac{{9-3\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;24 + 2\sqrt {21-4a} = 46\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {21-4a} = 11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;21-4a = 121\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -25.\) Второй случай: \(5 \cdot \frac{{3-\sqrt {21-4a} }}{2} + 3 \cdot \frac{{3 + \sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{15-5\sqrt {21-4a} }}{2} + \frac{{9 + 3\sqrt {21-4a} }}{2} = 23\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;24-2\sqrt {21-4a} = 46\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {21-4a} = -11\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a = -25\) корни уравнения удовлетворяют равенству \(5{x_1} + 3{x_2} = 23.\) Ответ: \(-25.\)