34В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни уравнения \({x^2}-2x + a = 0\) удовлетворяют равенству \(7{x_2}-4{x_1} = 47\).
ОТВЕТ: \(-15.\)
\({x^2}-2x + a = 0;\,\,\,\;\;\;\;D = 4-4a ;\,\,\,\,\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2 + 2\sqrt {1-a} }}{2},}\\{x = \frac{{2-2\sqrt {1-a} }}{2}\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\,\,\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt {1-a} ,}\\{x = 1-\sqrt {1-a} .\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Первый случай: \(7 \cdot \left( {1 + \sqrt {1-a} } \right)-4 \cdot \left( {1-\sqrt {1-a} } \right) = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7 + 7\sqrt {1-a} -4 + 4\sqrt {1-a} = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;3 + 11\sqrt {1-a} = 47\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {1-a} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1-a = 16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -15.\) Второй случай: \(7 \cdot \left( {1-\sqrt {1-a} } \right)-4 \cdot \left( {1 + \sqrt {1-a} } \right) = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7-7\sqrt {1-a} -4-4\sqrt {1-a} = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;3-11\sqrt {1-a} = 47\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\sqrt {1-a} = -4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a = -15\) корни уравнения удовлетворяют равенству \(7{x_2}-4{x_1} = 47.\) Ответ: \(-15.\)