35В. При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения \({x^2} + x\,\sqrt {6-{a^2}-a} + 3a + 4,5 = 0\) принимает наименьшее значение?
ОТВЕТ: \(-1.\)
Запишем ОДЗ на параметр a: \(6-{a^2}-a \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)\left( {a + 3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-3;2} \right].\) \(D = 6-{a^2}-a-12a-18 = -{a^2}-13a-12.\) Исходное уравнение будет иметь корни, если: \({a^2} + 13a + 12 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-12;-1} \right].\) Так как \(a \in \left[ {-3;2} \right],\) то: \(a \in \left[ {-3;-1} \right].\) Воспользуемся теоремой Виета: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = -\sqrt {6-{a^2}-a} ,}\\{{x_1} \cdot {x_2} = 3a + 4,5.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1} \cdot {x_2} + x_2^2-2{x_1} \cdot {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}-2{x_1} \cdot {x_2} = 6-{a^2}-a-6a-9 = -{a^2}-7a-3.\) Введём функцию \(f\left( a \right) = -{a^2}-7a-3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вниз, с вершиной равной \({a_{\rm{B}}} = -\frac{7}{2} = -3,5 \notin \left[ {-3;-1} \right].\) Так как \({a_{\rm{B}}} = -3,5 < -3,\) то при \(a \in \left[ {-3;-1} \right]\) парабола убывает, поэтому сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, если \(a = -1.\) Ответ: \(-1.\)