Запишем ОДЗ на параметр a:
\(6-{a^2}-a \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)\left( {a + 3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-3;2} \right].\)
\(D = 6-{a^2}-a-12a-18 = -{a^2}-13a-12.\)
Исходное уравнение будет иметь корни, если:
\({a^2} + 13a + 12 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-12;-1} \right].\)
Так как \(a \in \left[ {-3;2} \right],\) то: \(a \in \left[ {-3;-1} \right].\)
Воспользуемся теоремой Виета: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = -\sqrt {6-{a^2}-a} ,}\\{{x_1} \cdot {x_2} = 3a + 4,5.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
\(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1} \cdot {x_2} + x_2^2-2{x_1} \cdot {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}-2{x_1} \cdot {x_2} = 6-{a^2}-a-6a-9 = -{a^2}-7a-3.\)
Введём функцию \(f\left( a \right) = -{a^2}-7a-3,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вниз, с вершиной равной \({a_{\rm{B}}} = -\dfrac{7}{2} = -3,5 \notin \left[ {-3;-1} \right].\)
Так как \({a_{\rm{B}}} = -3,5 < -3,\) то при \(a \in \left[ {-3;-1} \right]\) парабола убывает, поэтому сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, если \(a = -1.\)
Ответ: \(-1.\)