35В. При каком значении параметра a сумма квадратов корней уравнения  \({x^2} + x\,\sqrt {6-{a^2}-a}  + 3a + 4,5 = 0\)  принимает наименьшее значение?

Ответ

ОТВЕТ:  \(-1.\)

Решение

Запишем ОДЗ  на параметр a:

\(6-{a^2}-a \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-2} \right)\left( {a + 3} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-3;2} \right].\)

\(D = 6-{a^2}-a-12a-18 = -{a^2}-13a-12.\)

Исходное уравнение будет иметь корни, если:

\({a^2} + 13a + 12 \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-12;-1} \right].\) 

Так как  \(a \in \left[ {-3;2} \right],\)  то:  \(a \in \left[ {-3;-1} \right].\)

Воспользуемся теоремой Виета:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = -\sqrt {6-{a^2}-a} ,}\\{{x_1} \cdot {x_2} = 3a + 4,5.\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

\(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1} \cdot {x_2} + x_2^2-2{x_1} \cdot {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}-2{x_1} \cdot {x_2} = 6-{a^2}-a-6a-9 = -{a^2}-7a-3.\)

Введём функцию  \(f\left( a \right) = -{a^2}-7a-3,\)  являющуюся параболой, ветви которой направлены вниз,  с вершиной равной  \({a_{\rm{B}}} = -\frac{7}{2} = -3,5 \notin \left[ {-3;-1} \right].\)

Так как \({a_{\rm{B}}} = -3,5 < -3,\) то при  \(a \in \left[ {-3;-1} \right]\)  парабола убывает, поэтому сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, если  \(a = -1.\)

Ответ:  \(-1.\)