37В (ЕГЭ 2022). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({a^2} + 2\,a\,x-3{x^2}-4a-4x + 8\left| x \right| = 0\) имеет четыре различных решения.
ОТВЕТ: \(\left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,3} \right) \cup \left( {3;4} \right).\)
\({a^2} + 2\,a\,x-3{x^2}-4a-4x + 8\left| x \right| = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{a^2} + 2\,a\,x-3{x^2}-4a-4x + 8x = 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{a^2} + 2\,a\,x-3{x^2}-4a-4x-8x = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{3{x^2}-\left( {2a + 4} \right)x + 4a-{a^2} = 0}\end{array}\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{3{x^2}-\left( {2a-12} \right)x + 4a-{a^2} = 0.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Так как исходное уравнение должно иметь четыре различных решения, то у двух квадратных уравнений полученной совокупности дискриминанты должны быть больше нуля. Тогда каждое из уравнений будет иметь по два решения и всего будет 4 решения. Рассмотрим уравнение первой системы: \(3{x^2}-\left( {2a + 4} \right)x + 4a-{a^2} = 0;\,\,\;\;\;\;D = 4{a^2} + 16a + 16-48a + 12{a^2} = \) \( = 16{a^2}-32a + 16 = 16{\left( {a-1} \right)^2};\,\,\,\,\,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2a + 4 + 4a-4}}{6} = a,\;\;\;\;\;\;}\\{x = \frac{{2a + 4-4a + 4}}{6} = \frac{{4-a}}{3}.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим уравнение второй системы: \(3{x^2}-\left( {2a-12} \right)x + 4a-{a^2} = 0;\,\,\;\;\;\;D = 4{a^2}-48a + 144-48a + 12{a^2} = \) \( = 16{a^2}-96a + 144 = 16{\left( {a-3} \right)^2};\,\,\,\,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{2a-12 + 4a-12}}{6} = a-4,}\\{x = \frac{{2a-12-4a + 12}}{6} = -\frac{a}{3}.\;\;}\end{array}} \right.\) Следовательно, исходное уравнение будет иметь четыре различных решения, если: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \ge 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{{4-a}}{3} \ge 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a-4 < 0,}\\{-\frac{a}{3} < 0\,\,\,\,\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 1,}\\{a \ge 0,}\\{a \le 4,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \ne 3,}\\{a < 4,}\\{a > 0}\end{array}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right) \cup \left( {3;4} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,3} \right) \cup \left( {3;4} \right)\) исходное уравнение будет иметь четыре различных решения. Ответ: \(\left( {0;1} \right) \cup \left( {1;\,3} \right) \cup \left( {3;4} \right).\)