4В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 9} \right)x + 9a} \right)\sqrt {x + 4} = 0\) имеет ровно два различных корня.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-4} \right] \cup \left\{ {-3} \right\} \cup \left[ {-2,25;\,0} \right] \cup \left\{ 3 \right\}.\)
Запишем ОДЗ: \(x + 4 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ge -4.\) \(\left( {a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 9} \right)x + 9a} \right)\sqrt {x + 4} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 9} \right)x + 9a = 0,}\\{\sqrt {x + 4} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 9} \right)x + 9a = 0,}\\{x = -4.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Корень \(x = -4\) удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, исходное уравнение будет иметь два различных корня, если уравнение \(a\,{x^2}-\left( {{a^2} + 9} \right)x + 9a = 0\) имеет один корень больше \(-4.\) Если \(a = 0,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot {x^2}-\left( {{0^2} + 9} \right)x + 9 \cdot 0 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-9x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0 > -4,\) значит \(a = 0\) подходит. Если \(a \ne 0,\) то уравнение будет являться квадратным, дискриминант которого: \(D = {\left( {{a^2} + 9} \right)^2}-36{a^2} = \left( {{a^2} + 9-6a} \right)\left( {{a^2} + 9 + 6a} \right) = {\left( {a-3} \right)^2}{\left( {a + 3} \right)^2} = {\left( {{a^2}-9} \right)^2}.\) Рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю: \(D = {\left( {{a^2}-9} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{a^2}-9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3,\;\;}\\{a = -3.}\end{array}} \right.\) Если \(a = 3,\) то: \(3{x^2}-18x + 27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-3} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 3.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, значит \(a = 3\) подходит. Если \(a = -3,\) то: \(-3{x^2}-18x-27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -3.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ, значит \(a = -3\) подходит. Если \(D > 0,\) то: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{{a^2} + 9 + {a^2}-9}}{{2a}},}\\{x = \dfrac{{{a^2} + 9-{a^2} + 9}}{{2a}}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = a,\,}\\{x = \dfrac{9}{a}.}\end{array}} \right.\) Исходное уравнение будет иметь два различных корня, если один из корней полученной совокупности больше \(-4,\) а другой меньше или равен \(-4.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -4,}\\{\dfrac{9}{a} \le -4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -4,}\\{\frac{9}{a} > -4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -4,\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{9 + 4a}}{a} \le 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -4,\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{9 + 4a}}{a} > 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -4,\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{a \in \left[ {-\dfrac{9}{4};0} \right)}\end{array}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\\{a \in \left( {-\infty ;-2,25} \right) \cup \left( {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left[ {-2,25;0} \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-4} \right]\,\;\;\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {-2,25;0} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-4} \right] \cup \left\{ {-3} \right\} \cup \left[ {-2,25;\,0} \right] \cup \left\{ 3 \right\}\) исходное уравнение имеет два различных корня. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-4} \right] \cup \left\{ {-3} \right\} \cup \left[ {-2,25;\,0} \right] \cup \left\{ 3 \right\}.\)