Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 5Вmath100admin44242025-03-27T22:37:27+03:00
5В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения \({x^2}-6x + {a^2}-4a + 12 = 0\) принимает наибольшее возможное значение.
Решение
Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: \(a{x^2} + bx + c = 0.\)
Запишем модуль разности корней уравнения:
\(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\dfrac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\dfrac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \dfrac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\)
Найдём дискриминант исходного уравнения:
\(D = 36-4{a^2} + 16a-48 = -4{a^2} + 16a-12.\)
Тогда: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \sqrt {-4{a^2} + 16a-12} .\)
Подкоренное выражение представляет собой квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом \(-4\) перед \({a^2}.\) Поэтому модуль разности корней уравнения принимает наибольшее значение в вершине: \({a_{\rm{B}}} = -\dfrac{{16}}{{-8}} = 2.\)
Убедимся, что при \(a = 2\) подкоренное выражение неотрицательно: \(\sqrt {-16 + 32-12} = 2.\)
Ответ: \(2.\)