5В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения  \({x^2}-6x + {a^2}-4a + 12 = 0\)  принимает наибольшее возможное значение.

Ответ

ОТВЕТ:  \(2.\)

Решение

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:   \(a{x^2} + bx + c = 0.\)

Запишем модуль разности корней уравнения:

\(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\)

Найдём дискриминант исходного уравнения:

\(D = 36-4{a^2} + 16a-48 = -4{a^2} + 16a-12.\)

Тогда:  \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \sqrt {-4{a^2} + 16a-12} .\)

Подкоренное выражение представляет собой квадратный трёхчлен с отрицательным коэффициентом  \(-4\)  перед  \({a^2}.\)  Поэтому модуль разности корней уравнения  принимает наибольшее значение в вершине:  \({a_{\rm{B}}} = -\frac{{16}}{{-8}} = 2.\)

Убедимся, что при  \(a = 2\)  подкоренное выражение неотрицательно:   \(\sqrt {-16 + 32-12}  = 2.\)

Ответ:  \(2.\)