6В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения  \({x^2} + 4x-{a^2} + 6a-7 = 0\)  принимает наименьшее возможное значение.

Ответ

ОТВЕТ:  \(3.\)

Решение

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:   \(a{x^2} + bx + c = 0.\)

Запишем модуль разности корней уравнения:

\(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\)

Найдём дискриминант исходного уравнения:

\(D = 16 + 4{a^2}-24a + 28 = 4{a^2}-24a + 44.\)

Тогда:  \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \sqrt {4{a^2}-24a + 44} .\)

Подкоренное выражение представляет собой квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом  \(4\)  перед  \({a^2}.\)  Поэтому модуль разности корней уравнения  принимает наименьшее значение в вершине:  \({a_{\rm{B}}} = \frac{{24}}{8} = 3.\)

Убедимся, что при  \(a = 3\)  подкоренное выражение неотрицательно:  \(\sqrt {36-72 + 44}  = 2\sqrt 2 .\)

Ответ:  \(3.\)