Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 6Вmath100admin44242025-03-27T22:38:02+03:00
6В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых модуль разности корней уравнения \({x^2} + 4x-{a^2} + 6a-7 = 0\) принимает наименьшее возможное значение.
Решение
Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: \(a{x^2} + bx + c = 0.\)
Запишем модуль разности корней уравнения:
\(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\dfrac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\dfrac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \dfrac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\)
Найдём дискриминант исходного уравнения:
\(D = 16 + 4{a^2}-24a + 28 = 4{a^2}-24a + 44.\)
Тогда: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \sqrt {4{a^2}-24a + 44} .\)
Подкоренное выражение представляет собой квадратный трёхчлен с положительным коэффициентом \(4\) перед \({a^2}.\) Поэтому модуль разности корней уравнения принимает наименьшее значение в вершине: \({a_{\rm{B}}} = \dfrac{{24}}{8} = 3.\)
Убедимся, что при \(a = 3\) подкоренное выражение неотрицательно: \(\sqrt {36-72 + 44} = 2\sqrt 2 .\)
Ответ: \(3.\)