Если \(a = -1\), то уравнение примет вид: \(x-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 4.\) То есть уравнение имеет одно решение, поэтому \(a = -1\) подходит.
Если \(a \ne -1\), то исходное уравнение является квадратным и оно будет иметь не более одного решения, если \(D \le 0\).
\(D = {a^2}-4\left( {a + 1} \right)\left( {a-3} \right) = -3{a^2} + 8a + 12 \le 0.\)
\(3{a^3}-8a-12 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;\dfrac{{4-2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\infty } \right).\)
Таким образом, исходное уравнение имеет не более одного решения при:
\(a\, \in \,\left( {-\infty ;\dfrac{{4-2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left\{ -1 \right\} \cup \left[ {\dfrac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\infty } \right).\)
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\,\dfrac{{4 — 2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left\{ { — 1} \right\} \cup \left[ {\dfrac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\,\infty } \right).\)