6А. При каких значениях параметра а уравнение \(\left( {a + 1} \right)\,{x^2} — a\,x + a — 3 = 0\) имеет не более одного решения?
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\,\frac{{4 — 2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left\{ { — 1} \right\} \cup \left[ {\frac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\,\infty } \right).\)
Если \(a = -1\), то уравнение примет вид: \(x-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = 4.\) То есть уравнение имеет одно решение, поэтому \(a = -1\) подходит. Если \(a \ne -1\), то исходное уравнение является квадратным и оно будет иметь не более одного решения, если \(D \le 0\). \(D = {a^2}-4\left( {a + 1} \right)\left( {a-3} \right) = -3{a^2} + 8a + 12 \le 0.\) \(3{a^3}-8a-12 \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{4-2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\infty } \right).\) Таким образом, исходное уравнение имеет не более одного решения при: \(a\, \in \,\left( {-\infty ;\frac{{4-2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left\{ 1 \right\} \cup \left[ {\frac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\infty } \right).\) ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;\,\frac{{4 — 2\sqrt {13} }}{3}} \right] \cup \left\{ { — 1} \right\} \cup \left[ {\frac{{4 + 2\sqrt {13} }}{3};\,\infty } \right).\)