7В. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение \(a\,{x^2} + \left( {2a + 2} \right)x + a + 3 = 0\) имеет два корня и расстояние между ними больше 1.
ОТВЕТ: \(\left( {-2-2\sqrt 2 ;0} \right) \cup \left( {0;-2 + 2\sqrt 2 } \right).\)
При \(a = 0\) исходное уравнение будет линейным, поэтому \(a = 0\) не подходит. Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде: \(a{x^2} + bx + c = 0.\) Запишем модуль разности корней уравнения: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| = \left| {\frac{{-b + \sqrt D }}{{2a}}-\frac{{-b-\sqrt D }}{{2a}}} \right| = \frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}}.\) Расстояние между корнями есть модуль разности корней уравнения. Найдём дискриминант исходного уравнения: \(D = 4{a^2} + 8a + 4-4{a^2}-12a = 4-4a.\) Исходное уравнение будет иметь два различных корня при условии, что дискриминант больше нуля: \(D > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4-4a > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a < 1.\) По условию: \(\left| {{x_1}-{x_2}} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sqrt D }}{{\left| a \right|}} > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\sqrt {4-4a} }}{{\left| a \right|}} > 1.\) Так как обе части последнего неравенства неотрицательны, то возведем их в квадрат, при этом знак неравенства не поменяется: \(\frac{{4-4a}}{{{a^2}}} > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4-4a-{a^2}}}{{{a^2}}} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{a^2} + 4a-4}}{{{a^2}}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {a + 2-2\sqrt 2 } \right)\left( {a + 2 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{a^2}}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a + 2-2\sqrt 2 } \right)\left( {a + 2 + 2\sqrt 2 } \right) < 0,}\\{{a^2} \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-2-2\sqrt 2 ;-2 + 2\sqrt 2 } \right),}\\{a \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-2-2\sqrt 2 ;0} \right) \cup \left( {0;-2 + 2\sqrt 2 } \right).\) Ответ: \(\left( {-2-2\sqrt 2 ;0} \right) \cup \left( {0;-2 + 2\sqrt 2 } \right).\)