Запишем ОДЗ: \(x-2 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 2.\)
Рассмотрим числитель исходного уравнения: \(\left( {a-6} \right){x^2} + 8x-4 = 0.\)
Если \(a = 6,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot {x^2} + 8x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{1}{2}.\)
Полученный корень удовлетворяет ОДЗ и уравнение при этом имеет один корень, значит \(a = 6\) подходит.
Рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю:
\(D = 64 + 16\left( {a-6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-6 = -4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2.\)
Если \(a = 2,\) то \(-4{x^2} + 8x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ и уравнение при этом имеет один корень, значит \(a = 2\) подходит.
Если \(D = 64 + 16\left( {a-6} \right) > 0,\) то \(a > 2,\) значит уравнение будет иметь одно решение, если одним из нулей числителя является \(2.\) Подставим \(x = 2\) в числитель:
\(4\left( {a-6} \right) + 16-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-6 = -3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 3.\)
Таким образом, уравнение имеет одно решение при \(a = 2;\;\,\,\,\,a = 3;\;\,\,\,\,\,a = 6.\)
Ответ: \(2;\,\,\,\,3;\,\,\,\,\,6.\)