8В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\frac{{\left( {a-6} \right){x^2} + 8x-4}}{{x-2}} = 0\) имеет ровно одно решение.
ОТВЕТ: \(2;\,\,\,\,3;\,\,\,\,\,6.\)
Запишем ОДЗ: \(x-2 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 2.\) Рассмотрим числитель исходного уравнения: \(\left( {a-6} \right){x^2} + 8x-4 = 0.\) Если \(a = 6,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot {x^2} + 8x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{1}{2}.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ и уравнение при этом имеет один корень, значит \(a = 6\) подходит. Рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю: \(D = 64 + 16\left( {a-6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-6 = -4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2.\) Если \(a = 2,\) то \(-4{x^2} + 8x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 1.\) Полученный корень удовлетворяет ОДЗ и уравнение при этом имеет один корень, значит \(a = 2\) подходит. Если \(D = 64 + 16\left( {a-6} \right) > 0,\) то \(a > 2,\) значит уравнение будет иметь одно решение, если одним из нулей числителя является \(2.\) Подставим \(x = 2\) в числитель: \(4\left( {a-6} \right) + 16-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-6 = -3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 3.\) Таким образом, уравнение имеет одно решение при \(a = 2;\;\,\,\,\,a = 3;\;\,\,\,\,\,a = 6.\) Ответ: \(2;\,\,\,\,3;\,\,\,\,\,6.\)