Профиль №18. Исследование дискриминанта и применение теоремы Виета. Задача 9Вmath100admin44242025-03-27T22:40:42+03:00
9В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(4{\cos ^4}3x-4\left( {a-3} \right){\cos ^2}3x-2a + 5 = 0\) имеет хотя бы один корень.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {2,5;\,3,5} \right].\)
Решение
Пусть \({\cos ^2}3x = t,\;\;\;\;t \in \left[ {0;1} \right].\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(4{t^2}-4\left( {a-3} \right)t-2a + 5 = 0;\;\;\;\;D = 16\left( {{a^2}-6a + 9} \right) + 32a-80 = \)
\( = 16{a^2}-96a + 144 + 32a-80 = 16{a^2}-64a + 64 = {\left( {4a-8} \right)^2};\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \dfrac{{4a-12 + 4a-8}}{8},}\\{t = \dfrac{{4a-12-4a + 8}}{8}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = a-2,5,\;\;\;\;\;}\\{t = -\dfrac{1}{2} \notin \left[ {0;1} \right].}\end{array}} \right.\)
Следовательно, уравнение будет иметь хотя бы один корень, если:
\(0 \le a-2,5 \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2,5 \le a \le 3,5.\)
Ответ: \(\left[ {2,5;\,3,5} \right].\)