9А. Решите уравнение при всех значениях параметра а: \(\left( {a + 1} \right){x^2} — \left( {a — 1} \right)x — 2a = 0.\)
Ответ
ОТВЕТ: \(x = — 1\) при \(a = — 1,\,\,\,\,a = — \dfrac{1}{3};\) \({x_1} = — 1,\,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}\) при \(a \ne — \dfrac{1}{3};\,\,\,\,\,a \ne — 1.\)
Решение
Если \(a = -1\), то уравнение будет являться линейным и примет вид: \(2x + 2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,x = -1.\)
Если \(a \ne -1\), то уравнение будет являться квадратным, поэтому его решение зависит от дискриминанта:
\(D = {\left( {a-1} \right)^2} + 4 \cdot 2a \cdot \left( {a + 1} \right) = {a^2}-2a + 1 + 8{a^2} + 8a = 9{a^2} + 6a + 1 = {\left( {3a + 1} \right)^2}.\)
Если \(D = 0\), то есть \(3a + 1 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a = -\dfrac{1}{3}\), то \(x = \dfrac{{a-1}}{{2\left( {a + 1} \right)}} = \dfrac{{-\dfrac{4}{3}}}{{\dfrac{4}{3}}} = -1.\)
Если \(D > 0\), то есть \({\left( {3a + 1} \right)^2} > 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,a \ne -\dfrac{1}{3}\), то:
\({x_1} = \dfrac{{a-1 + 3a + 1}}{{2\left( {a + 1} \right)}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{a-1-3a-1}}{{2\left( {a + 1} \right)}} = \dfrac{{-2\left( {a + 1} \right)}}{{2\left( {a + 1} \right)}} = -1.\)
ОТВЕТ: \(x = — 1\) при \(a = — 1,\,\,\,\,a = — \dfrac{1}{3};\) \({x_1} = — 1,\,\,\,\,{x_2} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}\) при \(a \ne — \dfrac{1}{3};\,\,\,\,\,a \ne — 1.\)