1В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^2}-\left( {2a-5} \right)x + a-7 = 0\) имеет два корня разных знаков, модуль каждого из которых меньше 3.
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{{13}}{7};\,\frac{{17}}{5}} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-\left( {2a-5} \right)x + a-7,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня разных знаков, модуль каждого из которых меньше 3, необходимо выполнение следующих условий (см. рисунок): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-3} \right) > 0,}\\{f\left( 0 \right) < 0,\;\;}\\{f\left( 3 \right) > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 + 3\left( {2a-5} \right) + a-7 > 0,\;\;\,}\\{{0^2}-\left( {2a-5} \right) \cdot 0 + a-7 < 0,}\\{9-3\left( {2a-5} \right) + a-7 > 0\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 + 6a-15 + a-7 > 0,}\\{a-7 < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{9-6a + 15 + a-7 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > \frac{{13}}{7},}\\{a < 7,\;\;\,}\\{a < \frac{{17}}{5}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {\frac{{13}}{7};\frac{{17}}{5}} \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{{13}}{7};\,\frac{{17}}{5}} \right).\) ЗАМЕЧАНИЕ. При решении нет необходимости проверять условие \(D > 0\), так как выполнение условия \(f\left( 0 \right) < 0\) гарантирует наличие двух корней.