10А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(a\,{x^2}-\left( {2a + 1} \right)\,x-1 + 3a = 0\) имеет два различных корня, каждый из которых меньше 1.
Введём функцию \(f\left( x \right) = a\,{x^2}-\left( {2a + 1} \right)x-1 + 3a\) графиком которой является парабола. Чтобы уравнение имело два различных корня, каждый из которых меньше 1, необходимо выполнение условий (см. рис.): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x_B} < 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \cdot f\left( 1 \right) > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2a + 1} \right)}^2}-4a\left( {3a-1} \right) > 0,}\\{\frac{{2a + 1}}{{2a}} < 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \cdot \left( {a-2a-1-1 + 3a} \right) > 0}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2}-8a-1 < 0,}\\{\frac{1}{{2a}} < 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\left( {2a-2} \right) > 0\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, \in \,\left( {\frac{{2-\sqrt 6 }}{4};\frac{{2 + \sqrt 6 }}{4}} \right),}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a\, \in \,\left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {\frac{{2-\sqrt 6 }}{4};0} \right).\) ОТВЕТ: \(\left( {\frac{{2-\sqrt 6 }}{4};\,0} \right).\)
Если \(a = 0\), то уравнение будет линейным, которое не может иметь два различных корня.