11В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения  \(\left( {{a^2}-1} \right){x^2} + \left( {6a-1} \right)x-{a^4} = 0\)  больше а, а другой меньше а.

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-1;\,0} \right) \cup \left( {\frac{1}{5};\,1} \right).\)

Решение

Если  \({a^2}-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a =  \pm 1,\)  то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит  \(a =  \pm 1\)  не подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = \left( {{a^2}-1} \right){x^2} + \left( {6a-1} \right)x-{a^4},\)  графиком которой является парабола, если  \(a \ne  \pm 1.\)

Если  \({a^2}-1 > 0,\)  то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы один корень был больше  а,  а другой меньше  а,  необходимо  выполнение следующих условий:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-1 > 0,}\\{f\left( a \right) < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {{a^2}-1} \right){a^2} + \left( {6a-1} \right)a-{a^4} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),\;\;\;\,\,\;}\\{{a^4}-{a^2} + 6{a^2}-a-{a^4} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{a\left( {5a-1} \right) < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{a \in \left( {0;\frac{1}{5}} \right)\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\emptyset .\)

Если  \({a^2}-1 < 0,\)  то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы один корень был больше  а,  а другой меньше  а,  необходимо выполнение следующих условий:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-1 < 0,}\\{f\left( a \right) > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right) < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {{a^2}-1} \right){a^2} + \left( {6a-1} \right)a-{a^4} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-1;1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\\{{a^4}-{a^2} + 6{a^2}-a-{a^4} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-1;1} \right),\;\;\,\,}\\{a\left( {5a-1} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-1;1} \right),\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{5};\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{5};1} \right).\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {-1;0} \right) \cup \left( {\frac{1}{5};1} \right)\)  один из корней уравнения больше  а,  а другой меньше  а.

Ответ:  \(\left( {-1;\,0} \right) \cup \left( {\frac{1}{5};\,1} \right).\)

ЗАМЕЧАНИЕ. Все рассмотренные выше случаи при  \(a \ne  \pm 1\)  можно было объединить в один:  \(\left( {{a^2}-1} \right)f\left( a \right) < 0.\)  Тогда всё свелось бы к решению одного неравенства:

\(\left( {{a^2}-1} \right)\left( {\left( {{a^2}-1} \right) \cdot {a^2} + \left( {6a-1} \right) \cdot a-{a^4}} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{a^2}-1} \right)\left( {5{a^2}-a} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;a\left( {a-1} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {5a-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-1;\,0} \right) \cup \left( {\frac{1}{5};\,1} \right).\)