12В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения \(\left( {a + 1} \right){x^2} + \left( {a-2} \right)x-{a^3} = 0\) больше а, а другой меньше а.
Если \(a + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -1,\) то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит \(a = -1\) не подходит. Если \(a + 1 > 0,\) то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы один корень был больше а, а другой меньше а, необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1 > 0,}\\{f\left( a \right) < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {a + 1} \right){a^2} + \left( {a-2} \right)a-{a^3} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-1;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{{a^3} + {a^2} + {a^2}-2a-{a^3} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-1;\infty } \right),\;\;}\\{2a\left( {a-1} \right) < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-1;\infty } \right),}\\{a \in \left( {0;1} \right)\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {0;1} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1 < 0,}\\{f\left( a \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {a + 1} \right){a^2} + \left( {a-2} \right)a-{a^3} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{{a^3} + {a^2} + {a^2}-2a-{a^3} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right),}\\{2a\left( {a-1} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-1} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left( {\,0;\,1} \right)\) один из корней уравнения больше а, а другой меньше а. Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left( {\,0;\,1} \right).\) ЗАМЕЧАНИЕ. Все рассмотренные выше случаи при \(a \ne -1\) можно было объединить в один: \(\left( {a + 1} \right)f\left( a \right) < 0.\) Тогда всё свелось бы к решению одного неравенства: \(\left( {a + 1} \right)\left( {\left( {a + 1} \right){a^2} + \left( {a-2} \right)a-{a^3}} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a + 1} \right)\left( {2{a^2}-2a} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2a\left( {a + 1} \right)\left( {a-1} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;\,-1} \right) \cup \left( {\,0;\,1} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a + 1} \right){x^2} + \left( {a-2} \right)x-{a^3},\) графиком которой является парабола, если \(a \ne -1.\)
Если \(a + 1 < 0,\) то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы один корень был больше а, а другой меньше а, необходимо выполнение следующих условий: