13В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения \(\left( {a-2} \right){x^2}-2\left( {a + 3} \right)x + 4a = 0\) больше 3, а другой меньше 2.
Если \(a-2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 2,\) то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит \(a = 2\) не подходит. Если \(a-2 > 0,\) то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы один корень был больше 3, а другой меньше 2, необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-2 > 0,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 2 \right) < 0,}\\{f\left( 3 \right) < 0\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {a-2} \right)-4\left( {a + 3} \right) + 4a < 0,}\\{9\left( {a-2} \right)-6\left( {a + 3} \right) + 4a < 0\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4a-8-4a-12 + 4a < 0,\,}\\{9a-18-6a-18 + 4a < 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 2,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,\;\,}\\{a < \frac{{36}}{7}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {2;5} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a-2 < 0,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 2 \right) > 0,}\\{f\left( 3 \right) > 0\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4\left( {a-2} \right)-4\left( {a + 3} \right) + 4a > 0,}\\{9\left( {a-2} \right)-6\left( {a + 3} \right) + 4a > 0\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4a-8-4a-12 + 4a > 0,\,}\\{9a-18-6a-18 + 4a > 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 2,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 5,\;\,}\\{a > \frac{{36}}{7}}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a \in \left( {2;\,5} \right)\) один из корней уравнения больше 3, а другой меньше 2. Ответ: \(\left( {2;\,5} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a-2} \right){x^2}-2\left( {a + 3} \right)x + 4a,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 2.\)
Если \(a-2 < 0,\) то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы один корень был больше 3, а другой меньше 2, необходимо выполнение следующих условий: