14В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения  \(\left( {a + 1} \right){x^2}-\left( {2a + 1} \right)x + a-2 = 0\)  положителен, а другой меньше, чем  \(-3\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-1;\,-\frac{5}{8}} \right).\)

Решение

Если  \(a + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -1,\)  то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит  \(a = -1\)  не подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = \left( {a + 1} \right){x^2}-\left( {2a + 1} \right)x + a-2,\)  графиком которой является парабола, если  \(a \ne -1.\)

Если  \(a + 1 > 0,\)  то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы один корень был положителен,  а другой меньше  \(-3,\)  необходимо  выполнение следующих условий:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1 > 0,\,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-3} \right) < 0,}\\{f\left( 0 \right) < 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{9\left( {a + 1} \right) + 3\left( {2a + 1} \right) + a-2 < 0,}\\{a-2 < 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{9a + 9 + 6a + 3 + a-2 < 0,}\\{a < 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{5}{8},}\\{a < 2\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {-1;-\frac{5}{8}} \right).\)

Если  \(a + 1 < 0,\)  то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы один корень был положителен,  а другой меньше  \(-3,\)  необходимо выполнение следующих условий:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + 1 < 0,\,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-3} \right) > 0,}\\{f\left( 0 \right) > 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{9\left( {a + 1} \right) + 3\left( {2a + 1} \right) + a-2 > 0,}\\{a-2 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{9a + 9 + 6a + 3 + a-2 > 0,}\\{a > 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a > -\frac{5}{8},}\\{a > 2\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\emptyset .\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {-1;\,-\frac{5}{8}} \right)\)  один из корней положителен, а другой меньше, чем  \(-3.\)

Ответ:  \(\left( {-1;\,-\frac{5}{8}} \right).\)