15В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни \({x_1}\) и \({x_2}\) уравнения \((3a + 2){x^2} + \left( {a-1} \right)x + 4a + 3 = 0\) удовлетворяют условию \({x_1} < -1 < {x_2} < 1\).
ОТВЕТ: \(\left( {-1;\,-\frac{2}{3}} \right).\)
Если \(3a + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{2}{3},\) то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит \(a = -\frac{2}{3}\) не подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = (3a + 2){x^2} + \left( {a-1} \right)x + 4a + 3,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne -\frac{2}{3}.\) Если \(3a + 2 > 0,\) то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы выполнялись условия \({x_1} < -1 < {x_2} < 1,\) необходимо выполнение следующих неравенств: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2 > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) > 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -\frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2-a + 1 + 4a + 3 < 0,}\\{3a + 2 + a-1 + 4a + 3 > 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -\frac{2}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\,\,\,}\\{a > -\frac{1}{2}\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Если \(3a + 2 < 0,\) то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы выполнялись условия \({x_1} < -1 < {x_2} < 1,\) необходимо выполнение следующих неравенств: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2 < 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2-a + 1 + 4a + 3 > 0,}\\{3a + 2 + a-1 + 4a + 3 < 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{2}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\,\,\,}\\{a < -\frac{1}{2}\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-1;-\frac{2}{3}} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-1;\,-\frac{2}{3}} \right)\) корни \({x_1}\) и \({x_2}\) исходного уравнения удовлетворяют условию \({x_1} < -1 < {x_2} < 1\). Ответ: \(\left( {-1;\,-\frac{2}{3}} \right).\)