15В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни \({x_1}\) и \({x_2}\) уравнения  \((3a + 2){x^2} + \left( {a-1} \right)x + 4a + 3 = 0\)  удовлетворяют условию  \({x_1} < -1 < {x_2} < 1\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {-1;\,-\frac{2}{3}} \right).\)

Решение

Если  \(3a + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = -\frac{2}{3},\)  то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит  \(a = -\frac{2}{3}\)  не подходит.

Введём функцию  \(f\left( x \right) = (3a + 2){x^2} + \left( {a-1} \right)x + 4a + 3,\)  графиком которой является парабола, если  \(a \ne -\frac{2}{3}.\)

Если  \(3a + 2 > 0,\)  то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы выполнялись условия  \({x_1} < -1 < {x_2} < 1,\)  необходимо выполнение следующих неравенств:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2 > 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) > 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -\frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2-a + 1 + 4a + 3 < 0,}\\{3a + 2 + a-1 + 4a + 3 > 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -\frac{2}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\,\,\,}\\{a > -\frac{1}{2}\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Если  \(3a + 2 < 0,\)  то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы выполнялись условия  \({x_1} < -1 < {x_2} < 1,\)  необходимо выполнение следующих неравенств:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2 < 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{2}{3},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2-a + 1 + 4a + 3 > 0,}\\{3a + 2 + a-1 + 4a + 3 < 0\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -\frac{2}{3},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\,\,\,}\\{a < -\frac{1}{2}\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-1;-\frac{2}{3}} \right).\)

Таким образом, при  \(a \in \left( {-1;\,-\frac{2}{3}} \right)\)  корни  \({x_1}\) и  \({x_2}\)  исходного уравнения удовлетворяют условию  \({x_1} < -1 < {x_2} < 1\).

Ответ:  \(\left( {-1;\,-\frac{2}{3}} \right).\)