16В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни \({x_1}\) и \({x_2}\) уравнения \({x^2}-2\left( {a + 1} \right)x + 9a-5 = 0\) удовлетворяют условиям \({x_1} \le -1\) и \(2 \le {x_2} < 4.\)
Для того чтобы корни уравнения удовлетворяли условиям \({x_1} \le -1\) и \(2 \le {x_2} < 4\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих неравенств: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) \le 0,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 2 \right) \le 0,\;\,}\\{f\left( 4 \right) > 0\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2\left( {a + 1} \right) + 9a-5 \le 0,\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4-4\left( {a + 1} \right) + 9a-5 \le 0,\,}\\{16-8\left( {a + 1} \right) + 9a-5 > 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + 2a + 2 + 9a-5 \le 0,\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{4-4a-4 + 9a-5 \le 0,\,}\\{16-8a-8 + 9a-5 > 0}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le \frac{2}{{11}},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{a \le 1,\;\;\,}\\{a > -3\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {-3;\frac{2}{{11}}} \right].\) Ответ: \(\left( {-3;\,\frac{2}{{11}}} \right].\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2\left( {a + 1} \right)x + 9a-5,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.