17В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения \({a^2}{x^2} + a\,x-2 = 0\) по модулю больше 1, а второй по модулю меньше 1.
Если \({a^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a = 0,\) то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит \(a = 0\) не подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = {a^2}{x^2} + a\,x-2,\) графиком которой является парабола ветвями вверх при \(a \ne 0.\) Для того чтобы один из корней исходного уравнения был по модулю больше 1, а второй по модулю меньше 1 (см. рис.), для первого случая необходимо выполнение условий \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0,\;\;}\end{array}} \right.\) а для второго случая \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) > 0.\;\;}\end{array}} \right.\) Таким образом, получаем следующую совокупность систем: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0\;\;\;}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) > 0\;\;\;}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;f\left( {-1} \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {{a^2}-a-2} \right)\left( {{a^2} + a-2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left( {a-2} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {a-1} \right)\left( {a + 2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-2;-1} \right) \cup \left( {1;2} \right).\) Ответ: \(\left( {-2;\,-1} \right) \cup \left( {1;\,2} \right).\)