18В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых один из корней уравнения \({x^2}-\left( {2a + 1} \right)\,x + {a^2} + a-2 = 0\) находится между числами 1 и 3, а второй между числами 4 и 6.
Для того чтобы один из корней исходного уравнения находился между числами 1 и 3, а второй между числами 4 и 6 (см. рис.), необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 1 \right) > 0,\,}\\{f\left( 3 \right) < 0,}\\{f\left( 4 \right) < 0,}\\{f\left( 6 \right) > 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1-2a-1 + {a^2} + a-2 > 0,\,\;\;\;}\\{9-6a-3 + {a^2} + a-2 < 0,\;\;\,}\\{16-8a-4 + {a^2} + a-2 < 0,\;}\\{36-12a-6 + {a^2} + a-2 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-a-2 > 0,\,\;\;\;\;}\\{{a^2}-5a + 4 < 0,\;\;\,}\\{{a^2}-7a + 10 < 0,\;}\\{{a^2}-11a + 28 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-2} \right)\left( {a + 1} \right) > 0,}\\{\left( {a-4} \right)\left( {a-1} \right) < 0,}\\{\left( {a-5} \right)\left( {a-2} \right) < 0,}\\{\left( {a-7} \right)\left( {a-4} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),}\\{a \in \left( {1;4} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a \in \left( {2;5} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{a \in \left( {-\infty ;4} \right) \cup \left( {7;\infty } \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {2;\,4} \right).\) Ответ: \(\left( {2;\,4} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-\left( {2a + 1} \right)\,x + {a^2} + a-2,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.