19В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни \({x_1}\) и \({x_2}\) уравнения \({x^2}-2{\log _a}\left( {a + 1} \right) \cdot x + {\log _a}\left( {a-4} \right) = 0\) удовлетворяют условиям \({x_1} < 0\) и \({x_2} > 1.\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2{\log _a}\left( {a + 1} \right) \cdot x + {\log _a}\left( {a-4} \right),\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Запишем ОДЗ параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\;\;\;\;\,}\\{a \ne 1,\;\;\;\;\;}\\{a + 1 > 0,}\\{a-4 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {4;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0,\,}\end{array}}\\{a \in \left( {4;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_a}\left( {a-4} \right) < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{1-2{{\log }_a}\left( {a + 1} \right) + {{\log }_a}\left( {a-4} \right) < 0,}\end{array}}\\{a \in \left( {4;\infty } \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство полученной системы: \({\log _a}\left( {a-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _a}\left( {a-4} \right) < {\log _a}1.\) Так как ОДЗ параметра \(a > 4,\) то: \({\log _a}\left( {a-4} \right) < {\log _a}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;0 < a-4 < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {4;5} \right).\) Рассмотрим второе неравенство полученной системы: \(1-2{\log _a}\left( {a + 1} \right) + {\log _a}\left( {a-4} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _a}a + {\log _a}\left( {a-4} \right) < {\log _a}{\left( {a + 1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _a}\left( {{a^2}-4a} \right) < {\log _a}\left( {{a^2} + 2a + 1} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-4a < {a^2} + 2a + 1,}\\{a-4 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6a + 1 > 0,}\\{a-4 > 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {4;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_a}\left( {a-4} \right) < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\\{1-2{{\log }_a}\left( {a + 1} \right) + {{\log }_a}\left( {a-4} \right) < 0,}\end{array}}\\{a \in \left( {4;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {4;5} \right),\;}\\{a \in \left( {4;\infty } \right),}\end{array}}\\{a \in \left( {4;\infty } \right)\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {4;5} \right).\) Ответ: \(\left( {4;\,5} \right).\)
Для того чтобы корни уравнения удовлетворяли условиям \({x_1} < 0\) и \({x_2} > 1\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих неравенств: