19А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни уравнения \({x^2}-5x + 4 = 0\) лежат на отрезке \(\left[ {a;\,\,3\,a + 2} \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{2}{3};\,1} \right].\)
Решение
\({x^2}-5x + 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x = 4.}\end{array}} \right.\)
Чтобы найденные корни лежали на отрезке \(\left[ {a;\,\,3a + 2} \right]\) необходимо выполнения следующих условий:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \ge a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{4 \le 3a + 2}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \le 1,}\\{a \ge \frac{2}{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,a \in \left[ {\frac{2}{3};\,1} \right].} \right.\)
ОТВЕТ: \(\left[ {\frac{2}{3};\,1} \right].\)