1А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(\left( {a-4} \right){x^2}-3\,a\,x + a-2 = 0\)  имеет два корня разных знаков.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,4} \right).\)  

Решение

Если  \(a-4 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = 4,\)  то уравнение будет являться линейным и оно не может иметь два корня. Если  \(a \ne 4,\)  то квадратное уравнение будет иметь два корня разных знаков, если:   \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\)

\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{a-2}}{{a-4}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {2;4} \right).\)

ЗАМЕЧАНИЕ: нет необходимости проверять знак дискриминанта,  так как  \(\frac{c}{a} < 0\),  то  \(a \cdot c < 0\)  и  \(D = {b^2}-4ac > 0.\)

ОТВЕТ: \(\left( {2;\,4} \right).\)