2В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^2}-\left( {3a-7} \right)x + a-4 = 0\) имеет два корня разных знаков, модуль каждого из которых меньше 2.
Для того чтобы уравнение имело два корня разных знаков, модуль каждого из которых меньше 2, необходимо выполнение следующих условий (см. рисунок): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-2} \right) > 0,}\\{f\left( 0 \right) < 0,\;\;}\\{f\left( 2 \right) > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 2\left( {3a-7} \right) + a-4 > 0,\;\;\,}\\{{0^2}-\left( {3a-7} \right) \cdot 0 + a-4 < 0,}\\{4-2\left( {3a-7} \right) + a-4 > 0\;\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 + 6a-14 + a-4 > 0,}\\{a-4 < 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{4-6a + 14 + a-4 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 2,\;\;\,}\\{a < 4,\;\;\,}\end{array}}\\{a < \frac{{14}}{5}\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {2;\frac{{14}}{5}} \right).\) Ответ: \(\left( {2;\,\frac{{14}}{5}} \right).\) ЗАМЕЧАНИЕ. При решении нет необходимости проверять условие \(D > 0\), так как выполнение условия \(f\left( 0 \right) < 0\) гарантирует наличие двух корней.
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-\left( {3a-7} \right)x + a-4,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.