20В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых корни \({x_1}\) и \({x_2}\) уравнения \(-\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{1}{2}{\log _{\left| a \right|}}\left( {a-2} \right) \cdot x + {\log _{\left| a \right|}}\left( {a-3} \right) = 0\) удовлетворяют условиям \({x_1} < 0\) и \({x_2} > 2.\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = -\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{1}{2}{\log _{\left| a \right|}}\left( {a-2} \right) \cdot x + {\log _{\left| a \right|}}\left( {a-3} \right),\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вниз. Запишем ОДЗ параметра a: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,\,\,\;\,\;\,\,}\\{a \ne \pm 1,\;\;\;\,}\\{a-2 > 0,}\\{a-3 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {3;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( 0 \right) > 0,}\\{f\left( 2 \right) > 0,}\end{array}}\\{a \in \left( {3;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_{\left| a \right|}}\left( {a-3} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-1 + {{\log }_{\left| a \right|}}\left( {a-2} \right) + {{\log }_{\left| a \right|}}\left( {a-3} \right) > 0,}\end{array}}\\{a \in \left( {3;\infty } \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Так как \(a \in \left( {3;\infty } \right),\) то \(\left| a \right| = a.\) Тогда полученная система примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_a}\left( {a-3} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\,\,}\\{-1 + {{\log }_a}\left( {a-2} \right) + {{\log }_a}\left( {a-3} \right) > 0,}\end{array}}\\{a \in \left( {3;\infty } \right).\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство полученной системы: \({\log _a}\left( {a-3} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _a}\left( {a-3} \right) > {\log _a}1.\) Так как ОДЗ параметра \(a > 3,\) то: \({\log _a}\left( {a-3} \right) > {\log _a}1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a-3 > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {4;\infty } \right).\) Рассмотрим второе неравенство полученной системы: \(-1 + {\log _a}\left( {a-2} \right) + {\log _a}\left( {a-3} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _a}\left( {a-2} \right) + {\log _a}\left( {a-3} \right) > {\log _a}a\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _a}\left( {{a^2}-5a + 6} \right) > {\log _a}a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-5a + 6 > a,}\\{a-3 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-6a + 6 > 0,}\\{a > 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;3-\sqrt 3 } \right) \cup \left( {3 + \sqrt 3 ;\infty } \right),}\\{a > 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {3 + \sqrt 3 ;\infty } \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_a}\left( {a-3} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\,\,}\\{-1 + {{\log }_a}\left( {a-2} \right) + {{\log }_a}\left( {a-3} \right) > 0,}\end{array}}\\{a \in \left( {3;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {4;\infty } \right),\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{a \in \left( {3 + \sqrt 3 ;\infty } \right),}\end{array}}\\{a \in \left( {3;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {3 + \sqrt 3 ;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {3 + \sqrt 3 ;\,\infty } \right).\)
Для того чтобы корни уравнения удовлетворяли условиям \({x_1} < 0\) и \({x_2} > 2\) (см. рис.), необходимо выполнение следующих неравенств: