21В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2{x^2} + \left( {a-4} \right)\,x + a + 2 = 0\) имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству \(\left| {\,x-1\,} \right| > 2.\)
Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| > a\) при \(a \ge 0\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < -a,}\\{f\left( x \right) > a.\;\;}\end{array}} \right.\) \(\left| {\,x-1\,} \right| > 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,x-1 < -2,}\\{\,x-1\, > 2\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,x < -1,}\\{\,x > 3\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).\) Введём функцию \(f\left( x \right) = 2{x^2} + \left( {a-4} \right)\,x + a + 2,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы корни уравнения удовлетворяли неравенству \(\left| {\,x-1\,} \right| > 2,\) необходимо принять во внимание следующие случаи. Рассмотрим первый случай (см. рис. 1): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\;\;\;\,}\\{{x_{\rm{B}}} > 3,\;\;\;}\\{f\left( 3 \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-8a + 16-8a-16 > 0,}\\{-\frac{{a-4}}{4} > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{18 + 3a-12 + a + 2 > 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-16a > 0,}\\{-a-8 > 0,\;\;\;}\\{4a + 8 > 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {a-16} \right) > 0,}\\{a < -8,\;\,\,\,\,\;\;\;\,\;\;}\\{a > -2\,\,\,\,\,\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {16;\infty } \right),}\\{a \in \left( {-\infty ;-8} \right),\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;}\\{a \in \left( {-2;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим второй случай (см. рис. 2): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\;\;\;\;\;\,}\\{{x_{\rm{B}}} < -1,\;\;\;}\\{f\left( {-1} \right) > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-8a + 16-8a-16 > 0,}\\{-\frac{{a-4}}{4} < -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{2-a + 4 + a + 2 > 0\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}-16a > 0,}\\{-a + 8 < 0,\;\;\;}\\{8 > 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\left( {a-16} \right) > 0,}\\{a > 8,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\;\;\;\,\;\;}\\{a \in R\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {16;\infty } \right),}\\{a \in \left( {8;\infty } \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {16;\infty } \right).\) Рассмотрим третий случай (см. рис. 3): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( {-1} \right) < 0,}\\{f\left( 3 \right) < 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2-a + 4 + a + 2 < 0,\;\;\;\,\,}\\{18 + 3a-12 + a + 2 < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8 < 0,\,\,}\\{a < -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \notin R,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{a \in \left( {-\infty ;-2} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a \in \left( {16;\infty } \right)\) исходное уравнение имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству \(\left| {\,x-1\,} \right| > 2.\) Ответ: \(\left( {16;\infty } \right).\)