22В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \({x^2}-2\,x + a-4 = 0\) имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству \(\left| {\,x-1\,} \right| < 2.\)
Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\) при \(a \ge 0\) равносильно двойному неравенству: \(-a < f\left( x \right) < a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < a,\;\,}\\{f\left( x \right) > -a.}\end{array}} \right.\) \(\left| {\,x-1\,} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < x-1 < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,-1 < x < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1;3} \right).\) Для того чтобы корни уравнения удовлетворяли неравенству \(\left| {\,x-1\,} \right| < 2,\) необходимо принять во внимание следующий случай (см. рис.): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,}\\{-1 < {x_B} < 3,}\\{f\left( {-1} \right) > 0,}\\{f\left( 3 \right) > 0}\end{array}} \right.\,\;\;\,\; \Leftrightarrow \,\,\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4-4a + 16 > 0,\,}\\{-1 < 1 < 3,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{1 + 2 + a-4 > 0,}\\{9-6 + a-4 > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 5,}\\{a > 1,\,}\\{a > 1\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {1;5} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {1;5} \right)\) исходное уравнение имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству \(\left| {\,x-1\,} \right| < 2.\) Ответ: \(\left( {1;5} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = {x^2}-2\,x + a-4,\) являющуюся параболой, ветви которой направлены вверх.