2А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  \(\left( {a-2} \right){x^2}-4\,a\,x + a-1 = 0\)  имеет два корня разных знаков.

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {1;\,2} \right).\)

Решение

Если  \(a-2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = 2,\)  то уравнение будет являться линейным и оно не может иметь два корня. Если  \(a \ne 2,\)  то квадратное уравнение будет иметь два корня разных знаков, если:   \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\)

\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{a-1}}{{a-2}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {1;2} \right).\)

ЗАМЕЧАНИЕ: нет необходимости проверять знак дискриминанта,  так как  \(\frac{c}{a} < 0\),  то  \(a \cdot c < 0\)  и  \(D = {b^2}-4ac > 0.\)

ОТВЕТ: \(\left( {1;\,2} \right).\)