Расположение корней квадратного трёхчлена относительно данных чисел. Задача 2Аmath100admin44242024-02-05T21:11:03+03:00
2А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a-2} \right){x^2}-4\,a\,x + a-1 = 0\) имеет два корня разных знаков.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {1;\,2} \right).\)
Решение
Если \(a-2 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = 2,\) то уравнение будет являться линейным и оно не может иметь два корня. Если \(a \ne 2,\) то квадратное уравнение будет иметь два корня разных знаков, если: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\)
\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{a-1}}{{a-2}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {1;2} \right).\)
ЗАМЕЧАНИЕ: нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как \(\frac{c}{a} < 0\), то \(a \cdot c < 0\) и \(D = {b^2}-4ac > 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {1;\,2} \right).\)