3В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {2a-1} \right){x^2}-\left( {a-3} \right)x + a + 5 = 0\) имеет два корня разных знаков, модуль каждого из которых больше 1.
Если \(2a-1 = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = 0,5,\) то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит \(a = 0,5\) не подходит. Если \(a > 0,5,\) то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы корни уравнения, модуль каждого из которых больше 1, были разных знаков, необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,5,\;\;\;\,\;}\\{f\left( {-1} \right) < 0,}\\{f\left( 1 \right) < 0\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2a-1 + a-3 + a + 5 < 0,}\\{2a-1-a + 3 + a + 5 < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,5,\;\;\;\;}\\{4a + 1 < 0,}\\{2a + 7 < 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > 0,5,\,}\\{a < -\frac{1}{4},}\end{array}}\\{a < -\frac{7}{2}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\emptyset .\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,5,\;\;\;\,\;}\\{f\left( {-1} \right) > 0,}\\{f\left( 1 \right) > 0\,\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2a-1 + a-3 + a + 5 > 0,}\\{2a-1-a + 3 + a + 5 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,5,\;\;\;\;}\\{4a + 1 > 0,}\\{2a + 7 > 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < 0,5,\,}\\{a > -\frac{1}{4},}\end{array}}\\{a > -\frac{7}{2}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {-\frac{1}{4};\,\frac{1}{2}} \right).\) Таким образом, при \(a \in \left( {-\frac{1}{4};\,\frac{1}{2}} \right)\) уравнение будет иметь два корня разных знаков, модуль каждого из которых больше 1. Ответ: \(\left( {-\frac{1}{4};\,\frac{1}{2}} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {2a-1} \right){x^2}-\left( {a-3} \right)x + a + 5,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 0,5.\)
Если \(a < 0,5,\) то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы корни уравнения, модуль каждого из которых больше 1, были разных знаков, необходимо выполнение следующих условий: