3А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {{a^2}-9} \right){x^2}-\left( {2{a^2} + 5a-9} \right)\,x + a + 3 = 0\) имеет два корня разных знаков.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-3} \right) \cup \left( {-3;\,3} \right).\)
Решение
Если \({a^2}-9 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = \pm 3,\) то уравнение будет являться линейным и оно не может иметь два корня. Если \(a \ne \pm 3,\) то квадратное уравнение будет иметь два корня разных знаков, если: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\)
\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{a + 3}}{{{a^2}-9}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {-3;3} \right).\)
ЗАМЕЧАНИЕ: нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как \(\frac{c}{a} < 0\), то \(a \cdot c < 0\) и \(D = {b^2}-4ac > 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-3} \right) \cup \left( {-3;\,3} \right).\)