4В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a + 1} \right){x^2}-\left( {2a + 1} \right)x + 2a-5 = 0\) имеет два корня разных знаков, модуль каждого из которых больше 4.
Если \(a = -1,\) то уравнение является линейным, поэтому оно не может иметь два корня, значит \(a = -1\) не подходит. Если \(a > -1,\) то ветви параболы направлены вверх (см. рис. 1), и для того чтобы корни уравнения, модуль каждого из которых больше 4, были разных знаков, необходимо выполнение следующих условий: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;}\\{f\left( {-4} \right) < 0,}\\{f\left( 4 \right) < 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16\left( {a + 1} \right) + 4\left( {2a + 1} \right) + 2a-5 < 0,}\\{16\left( {a + 1} \right)-4\left( {2a + 1} \right) + 2a-5 < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16a + 16 + 8a + 4 + 2a-5 < 0,}\\{16a + 16-8a-4 + 2a-5 < 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{26a + 15 < 0,}\\{10a + 7 < 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a > -1,\;\;\,\;}\\{a < -\frac{{15}}{{26}},}\end{array}}\\{a < -\frac{7}{{10}}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;a \in \left( {-1;-\frac{7}{{10}}} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\,\,\;\;\;}\\{f\left( {-4} \right) > 0,}\\{f\left( 4 \right) > 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16\left( {a + 1} \right) + 4\left( {2a + 1} \right) + 2a-5 > 0,}\\{16\left( {a + 1} \right)-4\left( {2a + 1} \right) + 2a-5 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{16a + 16 + 8a + 4 + 2a-5 > 0,}\\{16a + 16-8a-4 + 2a-5 > 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{26a + 15 > 0,}\\{10a + 7 > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{a < -1,\;\;\,\;}\\{a > -\frac{{15}}{{26}},}\end{array}}\\{a > -\frac{7}{{10}}\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Таким образом, при \(a \in \left( {-1;-\frac{7}{{10}}} \right)\) уравнение будет иметь два корня разных знаков, модуль каждого из которых больше 4. Ответ: \(\left( {-1;-\frac{7}{{10}}} \right).\)
Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a + 1} \right){x^2}-\left( {2a + 1} \right)x + 2a-5,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne -1.\)
Если \(a < -1,\) то ветви параболы направлены вниз (см. рис. 2), и для того чтобы корни уравнения, модуль каждого из которых больше 4, были разных знаков, необходимо выполнение следующих условий: