4А. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {25-{a^2}} \right){x^2}-\left( {4{a^2}-a-7} \right)\,x + a-5 = 0\) имеет два корня разных знаков.
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( {-5;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\)
Решение
Если \(25-{a^2} = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a = \pm 5,\) то уравнение будет являться линейным и оно не может иметь два корня. Если \(a \ne \pm 5,\) то квадратное уравнение будет иметь два корня разных знаков, если: \({x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} < 0.\)
\({x_1} \cdot {x_2} = \frac{{a-5}}{{25-{a^2}}} < 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,a\, \in \,\left( {-5;5} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\)
Замечание: нет необходимости проверять знак дискриминанта, так как \(\frac{c}{a} < 0\), то \(a \cdot c < 0\) и \(D = {b^2}-4ac > 0.\)
ОТВЕТ: \(\left( {-5;\,5} \right) \cup \left( {5;\,\infty } \right).\)