5В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a + 4} \right){x^2} + 4\left( {a + 1} \right)x + 2a + 2 = 0\) имеет хотя бы один корень, больший \(-2\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\)
Если \(a = -4,\) то уравнение является линейным \(0 \cdot \,{x^2} + 4 \cdot \left( {-3} \right) \cdot x-8 + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-12x-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -\frac{1}{2} > -2,\) значит \(a = -4\) подходит. Найдём дискриминант исходного уравнения: \(D = 16{\left( {a + 1} \right)^2}-8\left( {a + 4} \right)\left( {a + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {16a + 16-8a-32} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {8a-16} \right) = 0.\) Если \(a = -1,\) то \(3{x^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 0 > -2\), то есть \(a = -1\) подходит. Если \(a = 2,\) то \(6{x^2} + 12x + 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -1 > -2\), то есть \(a = 2\) подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a + 4} \right){x^2} + 4\left( {a + 1} \right)x + 2a + 2,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne -4.\) Уравнение будет иметь один корень больше \(-2,\) а второй меньше \(-2,\) если: \(\left( {a + 4} \right)f\left( {-2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a + 4} \right)\left( {4a + 16-8a-8 + 2a + 2} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a + 4} \right)\left( {-2a + 10} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-\infty ;-4} \right) \cup \left( {5;\infty } \right).\) Уравнение будет иметь два корня, оба из которых будут больше или равны \(-2,\) если выполняются следующие условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left( {a + 4} \right)f\left( {-2} \right) \ge 0,\,\,\,\,\,\,}\\{a \ne -4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x_{\rm{B}}} = -\frac{{4\left( {a + 1} \right)}}{{2\left( {a + 4} \right)}} > -2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a + 1} \right)\left( {8a-16} \right) > 0,\,\,\,\,}\\{\left( {a + 4} \right)\left( {-2a + 10} \right) \ge 0,}\\{a \ne -4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{{-3}}{{a + 4}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {2;\infty } \right),}\\{a \in \left[ {-4;5} \right],\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \ne -4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \in \left( {-4;\infty } \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left( {-4;-1} \right) \cup \,\left( {2;5} \right].\) Таким образом, исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень больше \(-2\) при \(a\, \in \,\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {2;\infty } \right).\)