6В. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(\left( {a-4} \right){x^2}-6\left( {a-2} \right)x + 7a-10 = 0\) имеет хотя бы один корень, меньший 3.
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)
Если \(\) то уравнение является линейным \(0 \cdot \,{x^2}-6 \cdot 2 \cdot x + 28-10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-12x + 18 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{3}{2} < 3,\) значит \(a = 4\) подходит. Найдём дискриминант исходного уравнения: \(D = 36{\left( {a-2} \right)^2}-4\left( {7a-10} \right)\left( {a-4} \right) = 36{a^2}-144a + 144-28{a^2} + 112a + 40a-160 = \) \( = 8\left( {{a^2} + a-2} \right) = 8\left( {a-1} \right)\left( {a + 2} \right) = 0.\) Если \(a = -2,\) то \(-6{x^2} + 24x-24 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left( {x-2} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = 2 < 3,\) то есть \(a = -2\) подходит. Если \(a = 1,\) то \(-3{x^2} + 6x-3 = 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{\left( {x-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,x = 1 < 3,\) то есть \(a = 1\) подходит. Введём функцию \(f\left( x \right) = \left( {a-4} \right){x^2}-6\left( {a-2} \right)x + 7a-10,\) графиком которой является парабола, если \(a \ne 4.\) Уравнение будет иметь один корень больше \(3,\) а второй меньше \(3,\) если: \(\left( {a-4} \right)f\left( 3 \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {a-4} \right)\left( {9a-36-18a + 36 + 7a-10} \right) < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\left( {a-4} \right)\left( {-2a-10} \right) < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;a \in \left( {-\infty ;\,-5} \right) \cup \left( {4;\,\infty } \right).\) Уравнение будет иметь два корня, оба из которых будут меньше или равны \(3,\) если выполняются следующие условия: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{D > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;}\\{\left( {a-4} \right)f\left( 3 \right) \ge 0,\;\,}\\{a \ne 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\;\,\,\,}\\{{x_{\rm{B}}} = \frac{{6\left( {a-2} \right)}}{{2\left( {a-4} \right)}} > 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\,\,\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {a-1} \right)\left( {a + 2} \right) > 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\left( {a-4} \right)\left( {-2a-10} \right) \ge 0,}\\{a \ne 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{2}{{a-4}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{a \in \left[ {-5;4} \right],\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \ne 4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{a \in \left( {-\infty ;\,4} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;a \in \left[ {-5;\,-2} \right) \cup \left( {1;\,4} \right).\) Таким образом, исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень меньше \(3\) при \(a \in \left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\,-2} \right] \cup \left[ {1;\,\infty } \right).\)